人船模型

人船模型

1. 模型图示

2. 模型条件与基本规律

系统在水平方向上不受外力（或外力远小于内力），故动量守恒，有：

$$ mv_{\text{人}} - Mv_{\text{船}} = 0 $$

其中 $m$、$M$ 分别为人和船的质量，$v_{\text{人}}$、$v_{\text{船}}$ 为二者对地的瞬时速度。

若人从船头走到船尾（或反向），设人对地位移大小为 $x_{\text{人}}$，船对地位移大小为 $x_{\text{船}}$，船长为 $L$，则由动量守恒对时间积分，可得位移关系：

$$ m\frac{x_{\text{人}}}{t} - M\frac{x_{\text{船}}}{t} = 0 $$

即：

$$ m x_{\text{人}} = M x_{\text{船}} $$

同时由几何关系：

$$ x_{\text{人}} + x_{\text{船}} = L $$

联立解得：

$$ x_{\text{人}} = \frac{M}{M+m}\,L,\qquad x_{\text{船}} = \frac{m}{M+m}\,L $$

3. 运动特点与物理意义

同步性：人动则船动，人静则船静；人快则船快，人慢则船慢；人向左则船向右（反向运动）。
位移与速度的反比关系：人与船的位移大小之比等于二者质量的反比，即

$$ \frac{x_{\text{人}}}{x_{\text{船}}} = \frac{M}{m} $$

同时，由于运动时间相同，二者的平均速度大小之比以及任意时刻的瞬时速度大小之比也满足同一反比关系：

$$ \frac{v_{\text{人}}}{v_{\text{船}}} = \frac{M}{m} $$

这一结论反映了质量越大者，运动越“迟缓”，位移越小。